2019年高考一輪復習數學專練：導數性質的應用

　　導數性質的簡單應用及對含參問題的研究

　　1.(2017·課標全國II卷理)若 是函數 的極值點，則 的極小值為　　　　　（   ）

　　A．                 B．                C．                    D．1

　　2.（2015·天津理）已知函數 ，函數 ，其中 .若函數 恰有4個零點，則 的取值范圍是（   ）

　　A．        B．        C．        D．

　　3.（2015·山東理）設函數 則滿足 的 取值范圍是（   ）

　　A．           B．           C．          D．

　　4. （2016o天津卷文）已知函數 為 的導函數，則 的值為_______.

　　5.(2017·北京理)（本小題13分）

　　已知函數f（x）=excosx?x．

　　（Ⅰ）求曲線y= f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；

　　（Ⅱ）求函數f（x）在區間[0， ]上的最大值和最小值．

　　6.（2015o課標全國II卷文）(本小題滿分12分)

　　已知函數 .

　　(I)討論 的單調性；

　　(II)當 有最大值，且最大值大于 時，求 的取值范圍.

　　7. （2015·山東理）(本小題滿分14分)

　　設函數 ，其中 .

　　(I)討論函數 極值點的個數，并說明理由；

　　(II)若 ， 成立，求 的取值范圍.

　　8.（2015·天津理）(本小題滿分14分)

　　已知函數 ， ，其中 ，且 .

　　(I)討論 的單調性；

　　(II)設曲線 與 軸正半軸的交點為 ，曲線在點 處的切線方程為 ，求證：對于任意的正實數 ，都有 ；

　　(III)若關于 方程 ( 為實數)有兩個正實數根 ， ，求證： .

　　9.(2017·課標全國I卷理)（12分）

　　已知函數 ．

　　（1）討論 的單調性；

　　（2）若 有兩個零點，求 的取值范圍．

　　10.（2017·課標全國I卷文）（12分）

　　已知函數 ．

　　（1）討論 的單調性；

　　（2）若 ，求a的取值范圍．

　　導數性質的簡單應用及對含參問題的研究答案

　　1.(2017·課標全國II卷理)若 是函數 的極值點，則 的極小值為　　（   ）

　　A．                 B．                C．                    D．1

　　【答案】A

　　【解析】 ，

　　則 ，

　　則 ， ，

　　令 ，得 或 ，

　　當 或 時， ，

　　當 時， ，

　　則 極小值為 ．

　　2.（2015·天津理）已知函數 ，函數 ，其中 .若函數 恰有4個零點，則 的取值范圍是（   ）

　　A．        B．        C．        D．

　　【答案】D

　　【解析】由題意，知f(2－x)＝x，0≤x≤2，4－x，x>2，x2，x<0.g(x)＝b－f(2－x)＝－x＋b，0≤x≤2，x＋b－4，x>2，－x2＋b，x<0.

　　當函數f(x)與g(x)的圖像如圖所示相切時，設左邊切點為B(x0，y0)，

　　g ′(x0)＝－2x0＝1，

　　∴x0＝－12，y0＝32.

　　∴32＝－－122＋b，

　　b＝74，即當b＝74時，f(x)與g(x)的圖像有兩個交點，g(x)的圖像必須還要向上平移，但g(x)圖像向上平移不能超過點A，所以74<b<2.

　　【點評】關鍵點撥：求解本題先由f(x)的解析式求出g(x)的解析式，再根據解析式結構選擇適當的方法作出函數的圖像，進而應用圖像求解b的取值范圍．

　　刷有所得：(1)根據分段函數確定另一個函數解析式要注意代入時自變量取值范圍滿足各段函數的定義域，如本題可先確定2－x的取值范圍，再分別代入，從而確定函數g(x)的解析式，亦可根據圖像變換由f(x)畫出－f(2－x)的圖像，上下平移b個單位得到g(x)圖像．(2)y＝f(x)－g(x)有零點可以轉化為f(x)與g(x)的函數圖像有交點．(3)解決曲線與直線交點問題可借助導數幾何意義求解．

　　測訓診斷：本題難度較大，主要考查已知函數有零點求參數取值范圍，分段函數圖像變換與導數的綜合，意在考查學生分類討論思想、數形結合解題思想和畫圖能力，學生失分較多．

　　3.（2015·山東理）設函數 則滿足 的 取值范圍是（   ）

　　A．           B．           C．          D．  【答案】C

　　【解析】f(x)＝3x－1，x＜1，2x，x≥1.

　　(1)當a≥1時，f(a)＝2a＞1，f[f(a)]＝ ，又2f(a)＝ ，∴f[f(a)]＝2f(a)符合題意；

　　(2)當a＜1時，f(a)＝3a－1.

　　①若3a－1≥1，即23≤a＜1，f[f(a)]＝23a-1，而2f(a)＝23a-1，故f[f(a)]＝2f(a)符合題意；

　　②若3a－1＜1，即a＜23， f[f(a)]＝3(3a－1)－1＝9a－4，而2f(a)＝23a-1＝12·8a.

　　令h(a)＝2f(a)－f[f(a)]＝12·8a－9a＋4a∈－∞，23.

　　則h′(a)＝12·8a·ln 8－9.

　　∵a＜23，∴8a＜4，∴h′(a)＜0，即y＝h(a)在－∞，23上單調遞減，h(a)>h23＝0，即當a＜23時，方程f[f(a)]＝2f(a)無解．

　　綜上a≥23，故選C.

　　【點評】測訓診斷：本題難度較大，主要考查函數與方程思想、分類與整合的思想．

　　關鍵點撥：確定f(a)的范圍是解方程的關鍵，故首先對a討論，得到f(a)的范圍，從而將復雜的方程化為簡單方程，當a<23時，原方程的解轉化求函數h(a)的零點問題，利用導數研究函數h(a)的單調性，進而解決．

　　4. （2016o天津卷文）已知函數 為 的導函數，則 的值為_______.

　　【答案】3

　　【解析】因為f ′(x)＝(2x＋3)ex，所以f ′(0)＝3.

　　【點評】測訓診斷：(1)本題難度易，主要考查導數的運算，考查學生的運算求解能力，意在讓學生得分．(2)本題若出錯，主要是求導法則應用錯誤．

　　5.(2017·北京理)（本小題13分）

　　已知函數f（x）=excosx?x．

　　（Ⅰ）求曲線y= f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；

　　（Ⅱ）求函數f（x）在區間[0， ]上的最大值和最小值．